El Número Áureo

El número áureo

Nuestra sociedad no puede existir sin los números. Ahora más que nunca ,vivimos en un mundo que se levanta sobre los números:π,е,…

Uno de los más interesantes es el número 1’6180339887…. Este número es llamado de muchas maneras: número de oro, proporción trascendental, número divino, divina proporción,… Y se representa con la letra griega Φ (phi)

Reproducir sus cifras en letra impresa resultaría literalmente imposible, y no porque sea excesivamente grande (ya que apenas es mayor que 1),sino porque está compuesto por infinitos dígitos que no siguen pauta alguna.


Dato interesante: Si cogemos por ejemplo 10.000 de sus decimales y buscamos en ello, tropezaremos con toda seguridad con nuestra fecha de nacimiento, pero también con la matricula de nuestro coche. En realidad, podemos encontrar cualquier tipo de secuencia numérica que podamos imaginar

Su anotación aritmética es:

Es un número irracional, lo que quiere decir que nunca podremos tener una expresión decimal exacta y que no habrá ningún grupo de sus decimales que se repita periódicamente

Aproximación geométrica

Dibujamos un rectángulo cuyo lado más largo es el resultado de multiplicar el corto por 1’618 (aproximación de Φ). Este rectángulo aparece en cosas tan simples como las tarjetas de crédito, en “La Mona Lisa”, en plantas y árboles,…y en las flores aparece oculta por la sucesión de Fibonacci.

Sucesión de Fibonacci

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,…

Cada número se genera con la suma de los anteriores. El cociente entre un término cualquiera de la sucesión y su antecedente se aproxima a Φ
El número de oro aparece en un libro llamado “Elementos de la Geometría” de un matemático llamado Euclides de a.C. En ese libro se dice que una recta está dividida en media y extrema razón, cuando la longitud de la línea total es a la de la parte mayor, como la de esta parte mayor es a la de la menor, es decir, el todo es a la parte como la parte al resto. 

                                    

                                                                                                         

x=1’618 

Puesto que la solución de la ecuación es la relación entre las longitudes de los segmentos, esa será la misma, cualquiera que sea el segmento del que partamos, es decir, la proporción áurea tendrá el mismo valor con independencia de la longitud del segmento inicial.

Propiedades elementales de Φ

#1/Φ=Φ-1

#

Ahora multipliquemos en la segunda propiedad varias veces por Φ en los dos miembros

“Cualquier potencia de Φ es igual a la suma de las dos potencias anteriores”

#Luego , una vez que tengamos los valores de Φ y su cuadrado, si queremos obtener el resto de potencias, basta con ir sumando dos consecutivas para obtener la siguiente.
#Del mismo modo, utilizando las 3 propiedades podemos encontrar otras equivalencias para las potencias en las que sólo interviene Φ y números naturales.#Volviendo a Fibonacci, este escribió otro libro titulado “Libro del Ábaco” donde se encuentra el problema de los conejos cuyo enunciado es: ¿Cuántas parejas de conejos tendremos a fin de año si comenzamos con una pareja que produce cada mes otra pareja que procrea a su vez a los dos meses de vida?
#En su resolución se encuentra la sucesión de Fibonacci ya expuesta con anterioridad.
#Así que la respuesta al ejercicio, acerca de cuántas parejas de conejos habrá luego de un año, resulta ser el doceavo término de la sucesión: 144.

Relación entre el numero áureo y Fibonacci

La relación que existe entre la sucesión de Fibonacci y el numero áureo es que el cociente de un componente de esa sucesión y su antecesor da un numero muy próximo al numero áureo, pero con este problema nos damos cuenta que cuanto más altos sean los valores de esos dos números, más aproximado es el valor del numero áureo.

Relaciones numéricas sorprendentes

#Suma de los términos de la sucesión de Fibonacci: Si elegimos diez términos consecutivos cualquiera de la sucesión y los sumamos, veremos que siempre obtenemos un múltiplo de 11( si esto lo estudiamos a fondo nos podemos llevar grandes sorpresas)
#Las ternas pitagóricas: si cogemos tres números de la sucesión de Fibonacci podremos comprobar fácilmente que forman una terna pitagórica:

Marta Garduño García

El Número Áureo (continuacion)

Continuación de "El Número Áureo"

El rectangulo aureo

Veamos ahora como se puede dividir un segmento en media y extrema razón de forma geométrica, cuya proporción sea Φ

1º Construimos un triángulo rectángulo de catetos b y b/2 2º Con centro en B y radio CB, trazamos un arco de circunferencia que cortará AB en M 
3º Con centro en C y radio CB, trazamos otro arco que corta AC en D 
4º Con centro en A y radio AD, trazamos un arco que corta AB en E





Casi todas las tarjetas que usamos a diario (DNI, de crédito, salud, piscina,…) tienen el mismo tamaño y forma o como mínimo la misma proporción.

Reconocer y construir un rectángulo áureo 

Un rectángulo es áureo cuando la relación entre sus lados es Φ.
1) Dibuja un cuadrado que tenga 2 cm. de lado:

2) Halla el punto medio de la base
3) Une el punto medio anterior con el vértice superior derecho
4) Haciendo centro en el punto medio de la base y con radio igual a la longitud de la recta que acabas de trazar dibuja una circunferencia

6) Prolonga la línea de la base hasta cortarse con la circunferencia 

7) Calculamos la longitud del radio de la circunferencia, es decir, de r:

El triángulo de color rojo es un triángulo rectángulo en el que los catetos valen 1 cm. y 2 cm. siendo r el valor de la hipotenusa. 

7) Haciendo uso del teorema de Pitágoras escribimos:

8) La línea de color amarillo de la siguiente figura valdrá:

9) ¿Cuánto vale la línea de figura siguiente?

10) Traza una perpendicular de 2 cm. a la línea en el punto B:

11) Unimos el vértice superior derecho del cuadrado con la perpendicular al punto B, de la base

Propiedades del rectángulo aureo

Es un rectángulo que posee una proporcionalidad entre sus lados igual a la razón áurea. Es decir que es aquél rectángulo que al substraer la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es igualmente un rectángulo áureo. A partir de este rectángulo se puede obtener la espiral dorada, que es la única espiral logarítmica.

Espiral logarítmica

Algunas de las manifestaciones más prodigiosas de Φ se encuentran en las espirales, en las que Φ tiene comportamientos curiosos.
Supongamos que partimos de un rectángulo áureo al que vamos restando cuadrados para obtener nuevos rectángulos áureos.
En cada uno de los cuadrados que vamos sustrayendo, trazamos cuadrantes de circunferencias con radio el lado del cuadrado y centro en el vértice de cada uno de ellos.
Así obtenemos la espiral logarítmica.

Pentágono regular

Hay muchos trazados que no se pueden resolver con regla y compás (cuadratura del círculo , duplicación de un cubo,…). Sin embargo, el pentágono regular sí puede trazarse indirectamente con regla y compás con la ayuda de Φ.

Gracias a este espectacular y particular número se pueden construir muchas más figuras especiales como el triángulo áureo, la estrella pentagonal,…Y también se pueden hacer embaldosados periódicos y no periódicos, mosaicos de Penrose.

 

También este número participa en el juego ya que todo juego de azar tiene base matemática. Aparece en juegos como el pentágono estrellado, las damas áureas…

Este número esta presente en muchos sitios aunque no nos damos cuenta, vamos a poner varios ejemplos: 

#En el modelo del hombre ideal

#En la galaxia 

#En las proporciones de nuestro cuerpo

#En el famoso cuadro de la Mona Lisa

#En una simple caracola

#En el famoso Partenón

#En Notredame

Conclusión

En número áureo o número de oro es un número tan complejo y espectacular que tiene limites inimaginables. Nosotros en nuestra vida cotidiana no relacionamos este número, ni ningún otro con cualquier cosa que hacemos, pero están presente todos los días en nuestras vidas en las cosas más simples, lo hemos visto con este número, que tan solo lo hemos examinado por encima.

Marta Garduño García

Curiosidades Matemáticas 1

CURIOSIDAD 1:

      Las dos rayas = que indican igualdad las empezó a utilizar un matemático inglés llamado Robert Record que vivió hace más de cuatrocientos años. En uno de sus libros cuenta que eligió ese signo porque “dos cosas no pueden ser más iguales que dos rectas paralelas”

CURIOSIDAD 2:
 

Cuenta la leyenda que Sessa, inventor del ajedrez, presentó el juego a Sherán, príncipe de la India, quien quedó maravillado de lo ingenioso que era y de la variedad de posiciones que en él eran posibles. Con el fin de recompensarle, le preguntó qué deseaba. Sessa le pidió un corto plazo para meditar la respuesta. Al día siguiente se presentó ante el soberano y le hizo la siguiente petición: «Soberano, manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero de ajedrez, dos granos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, y así sucesivamente hasta la casilla sesenta y cuatro». Sessa pedía, por tanto, que le recompensaran con el siguiente número de granos: 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + … + 2 63 ; ¡más de 18 trillones!, que es la cosecha que se recogería al sembrar 65 veces toda la tierra. Por supuesto que el príncipe no pudo cumplir su promesa…

CURIOSIDAD 3:

      El símbolo de raíz se empezó a usar en 1525 y apareció por primera vez en un libro alemán de álgebra. Antes, para indicar la raíz de un número se escribía “raíz de …”. Luego, para abreviar, se empezó a poner “r”. Pero si el número era largo, el trazo horizontal de la “r” se alargaba hasta abarcar todas las cifras. Así nació el símbolo de la raíz, como una “r” mal hecha.

 


CURIOSIDAD 4:

Gottfried W. Leibnitz, inventó el sistema binario (base 2) usado hoy en los ordenadores. Leibnitz vio en este sistema la imagen de la Creación; se imaginó que la unidad (1) representaba a Dios y el cero (0) la nada, e inventó un sistema filosófico basado en esas premisas.

 CURIOSIDAD 5:

Arquímedes , pariente y amigo del rey Herón de Siracusa, le escribió una vez que con cualquier fuerza dada es posible mover cualquier peso dado (si hubiera otro mundo al que pudiera ir, podría mover el nuestro). Herón se asombró y suplicó que hiciera lo posible para llevar a cabo su proposición, y que le enseñara algún gran peso movido por una fuerza pequeña. Arquímedes pidió que un barco de tres mástiles de la flota real fuera remolcado a la playa con grandes esfuerzos de muchos hombre y, después de subir a bordo muchos pasajeros y la carga acostumbrada, se sentó a cierta distancia de la nave y, sin mucho esfuerzo, pero lentamente, puso en movimiento un sistema compuesto de poleas con sus manos, tiró de la nave uniformemente hacia él como si estuviera deslizándose por el agua.

 CURIOSIDAD 6:

Sin mirar, pídele a alguien que escriba un número cualquiera abc de tres cifras (el primero y el último deben ser distintos). A continuación deberá invertir el número (cba) y calcular la diferencia entre ambos. A este resultado debe sumarle lo obtenido invirtiéndolo.

El conductor del juego, que no ha visto número alguno, anuncia el resultado: 1.089

Ejemplos:

 

971 - 179 = 792 + 297 = 1.089

352 - 253 = 099 + 990 = 1.089

 CURIOSIDAD 7:

Se le pregunta a una persona su número favorito. si multiplicamos este número por nueve y por el número curioso 12345679, el resultado será el número inicial repetido nueve veces:

12345679 x 9 x 1 = 111111111 

12345679 x 9 x 2 = 222222222 

12345679 x 9 x 3 = 333333333 

12345679 x 9 x 4 = 444444444 

12345679 x 9 x 5 = 555555555 

12345679 x 9 x 6 = 666666666 

12345679 x 9 x 7 = 777777777 

12345679 x 9 x 8 = 888888888  

12345679 x 9 x 9 = 999999999

CURIOSIDAD 8:

Tras examinar las líneas de la mano izquierda de una persona, dile que restando del año de su nacimiento la suma de las cifras de este año, obtenemos un número divisible por nueve.

Siempre tendrás razón: no importa ni las líneas de la mano ni el año de nacimiento.

CURIOSIDAD 9:

CURIOSIDAD 10:

Multiplicamos 142857 por 7 y nos da cómo resultado un número muy curioso:  

7 * 142857 = 999999

Multiplicamos 142857 por 2, 3, 4, 5, 6 y así sucesivamente y nos da cómo resultado una serie de números que contienen los mismos dígitos en el mismo orden, cómo se ve a continuación:

        1 *142857 = 142857
2 * 142857 = 285714
3 * 142857 = 428571
4 * 142857 = 571428
5 * 142857 = 714285
6 * 142857 = 857142

José Manuel Cáceres y Guillermo Ordoñez

Cubo de Rubik

Invencion del cubo de rubik

A mediados de la década de 1970, Ernő Rubik trabajaba en el Departamento de Diseño de Interiores en la Academia de Arte y trabajos manuales aplicados en Budapest. Aunque generalmente se dice que el cubo fue construido como herramienta escolar para ayudar a sus estudiantes a entender objetos tridimensionales, su propósito real era resolver el problema estructural de mover las partes independientemente sin que el mecanismo entero se desmoronara. Rubik no se dio cuenta de que había creado un rompecabezas hasta la primera vez que mezcló su nuevo cubo e intentó volverlo a la posición original. Obtuvo una patente húngara en 1975. Originalmente, el cubo de Rubik fue llamado Cubo Mágico (Bűvös kocka) en Hungría. El rompecabezas no había sido patentado internacionalmente en el plazo de un año de la patente original. De esta manera, la ley de patentes impedía la posibilidad de patentado internacional. Ideal quería al menos un nombre reconocible para registrar; el acuerdo puso a Rubik en el centro de atención debido a que el cubo mágico fue renombrado como su inventor.

Los primeros productos de este invento salieron a la venta a finales de 1977 en jugueterías de Budapest. El cubo mágico se unía por medio de piezas de plástico ensambladas entre sí que prevenían que las piezas se separaran, a diferencia de los imanes en el diseño de Nichols. En septiembre de 1979 se firmó un acuerdo con Ideal para vender el cubo mágico a nivel mundial, y el rompecabezas hizo su debut internacional en ferias de juguetes de Londres, París, Nürnberg y Nueva York en enero y febrero de 1980.

Después del lanzamiento internacional el éxito del Cubo en las jugueterías occidentales se detuvo brevemente para que el juguete pudiera adecuarse a los estándares occidentales de seguridad y empaquetado. Se produjo un cubo más ligero e Ideal Toys decidió cambiarle el nombre; se consideraron "El nudo gordiano" y "Oro Inca", pero la compañía finalmente se decidió por "El cubo de Rubik", y la primera entrega fue exportada de Hungría en mayo de 1980. A raíz de la escasez del producto surgieron muchas imitaciones más barata

Mecanismo

Un cubo de Rubik estándar mide 5.7 cm en cada lado. El rompecabezas consiste de 26 piezas o cubos pequeños. Cada una incluye una extensión interna oculta que se entrelaza con los otros cubos, mientras les permite moverse a diferentes posiciones. Sin embargo, las piezas centrales de cada una de las seis caras es simplemente un solo cuadrado; todos fijados al mecanismo principal. Esto provee la estructura para que las otras piezas quepan y giren alrededor. De este modo hay 21 piezas: una pieza central consistente de tres ejes que sostienen los seis centros cuadrados en su lugar pero dejando que giren, y 20 piezas de plástico que caben en él para formar el rompecabezas montado.

Cada uno de los seis centros gira en un tornillo (sujetador) asidos por la pieza central. Un resorte entre cada cabeza de tornillo y su correspondiente pieza tensiona la pieza hacia el interior, por lo que el conjunto se mantiene compacto, pero aún se puede manipular fácilmente. El tornillo se puede apretar o aflojar para cambiar la tensión del cubo. Los cubos de marca oficiales más recientes tienen remaches en lugar de tornillos, por lo que no se pueden ajustar.

El cubo puede ser desarmado sin demasiada dificultad, generalmente rotando la capa superior unos 45° y haciendo palanca para quitar una pieza arista. Por lo tanto, este es un proceso simple de "resolver" el cubo, desmontarlo y volverlo a armar en un estado resuelto.

Hay seis piezas centrales que muestran una cara de un solo color, doce piezas arista que muestran dos caras coloreadas, y ocho piezas vértice que muestras tres caras coloreadas. Cada pieza muestra una combinación única de colores, pero no todas las combinaciones están presentes (por ejemplo, si rojo y naranja son lados opuestos de un cubo resuelto, no habrá una pieza arista roja-naranja). La localización relativa de esos cubos con respecto a otros puede ser alterada girando tercio exterior o lado del cubo 90°, 180° or 270°, pero la ubicación relativa del color de los lados con respecto a otros no puede ser cambiada: está determinado por la posición relativa de los cuadrados centrales.

Douglas Hofstadter, en la edición de julio de 1982 de Scientific American, señaló que los cubos podían estar coloreados de tal manera que enfatizara las aristas o los vértices, en vez de las caras, como el coloreo estándar lo hace; pero ninguno de estos coloreos alternativos se volvió popular.

Como solucionarlo: permutaciones

En el cubo de Rubik original (3×3×3) tiene ocho vértices y doce aristas. Hay (40 320) formas de combinar los vértices del cubo. Siete de estas pueden orientarse independientemente, y la orientación de la octava dependerá de las siete anteriores, dando (2 187) posibilidades. A su vez, hay (239 500 800) formas de disponer los vértices, dado que una paridad de las esquinas implica asimismo una paridad de las aristas. Once aristas pueden ser volteadas independientemente, y la rotación de la duodécima dependerá de las anteriores, dando (2 048) posibilidades. En total el número de permutaciones posibles en el Cubo de Rubik es de:

= 43 252 003 274 489 856 000

Es decir, cuarenta y tres trillones doscientos cincuenta y dos mil tres billones doscientos setenta y cuatro mil cuatrocientos ochenta y nueve millones ochocientas cincuenta y seis mil permutaciones.

El rompecabezas es a menudo promocionado teniendo solo "millardos" de posiciones, ya que números más grandes no son muy familiares para la mayoría de la gente.

Como solucionarlo:caras laterales

El cubo de Rubik original no tenía marcas en las caras centrales (aunque algunos traían las palabras "cubo de Rubik" en el cuadrado central de la cara blanca), y por ende resolverlo no requería prestar atención en orientar correctamente dichas caras centrales. Sin embargo, algunos cubos han sido producidos comercialmente con marcas en todos los centros, como el cuboku. Teóricamente puede resolverse un cubo aun teniendo los centros rotados; pero se convierte en un desafío adicional resolver también los centros.

Marcar los centros del cubo de Rubik aumenta su dificultad debido a que expande el conjunto de posibles configuraciones distinguibles. Hay 46/2 (2 048) maneras de orientar los centros, dado que una paridad de los vértices implica un número par de movimientos simples de los centros.

En particular, cuando el cubo es resuelto, aparte de las orientaciones de las caras centrales, siempre existirá un número par de caras centrales que requieren un giro de 90º. Dichas orientaciones de los centros incrementan el número total de permutaciones posibles del cubo de 43 252 003 274 489 856 000 (4.3×1019) a 88 580 102 706 155 225 088 000 (8.9×1022).

Cuando girar un cubo alrededor de su propio eje es considerado como un cambio de la permutación, también es necesario contar las posibles posiciones de las caras centrales. En teoría, existen 6! formas de disponer las seis caras centrales del cubo, pero solo 24 de estas son posibles sin tener que desarmar el cubo. Cuando las orientaciones de los centros también son contadas, el total de las permutaciones incrementa de 88,580,102,706,155,225,088,000 (8.9×1022) a 2,125,922,464,947,725,402,112,000 (2.1×1024).

Como solucionarlo:algoritmos

En la terminología de los aficionados al cubo de Rubik, una secuencia memorizada de movimientos que tiene un efecto deseado en el cubo es llamado algoritmo. Esta terminología deriva del uso matemático de algoritmo, un conjunto preescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos. Cada método de resolver el cubo emplea su propio conjunto de algoritmos, junto a descripciones de cuál es el efecto del algoritmo, y cuándo puede ser usado para llevar al cubo a un estado más cercano a estar resuelto.

Muchos algoritmos son diseñados para transformar solo una pequeña parte del cubo sin desarmar otras partes ya resueltas, y así poder ser aplicados repetidamente a diferentes partes del cubo hasta que quede resuelto. Por ejemplo, hay algoritmos para intercambiar tres vértices o cambiar la orientación de dos vértices sin cambiar al resto del rompecabezas.

Algunos algoritmos tienen un efecto deseado en el cubo (por ejemplo, intercambiar dos vértices) pero pueden tener efectos colaterales (como permutar dos aristas). Dichos algoritmos son a menudo más simples que otros sin efectos no deseados, y son empleados al principio de la solución cuando la mayor parte del rompecabezas no ha sido resuelto y los efectos secundarios no son importantes. Hacia el final de la solución son usados algoritmos más específicos (y por lo general más complejos) para evitar mezclar partes del cubo que ya han sido resueltas.

Notacion

Muchos entusiastas del cubo de Rubik usan una notación desarrollada por David Singmaster para denotar una secuencia de movimientos, denominada "notación Singmaster". Su naturaleza relativa permite que los algoritmos se escriban de una manera que puedan aplicarse independientemente de qué lado es designado el superior o cómo están organizados los colores en un cubo particular.

·  F (frente): el lado enfrente a la persona

·  B (atrás): el lado opuesto al frente

·  U (arriba): el lado encima o en la parte superior del lado frontal

·  D (abajo): el lado opuesto a la parte superior, debajo del cubo

·  L (izquierda): el lado directamente a la izquierda del frente

·  R (derecha): el lado directamente a la derecha del frente

·  f (dos capas frente): el lado enfrente a la persona y la correspondiente capa media

·  b (dos capas atrás): el lado opuesto al frente y la correspondiente capa media

·  u (dos capas arriba): el lado superior y la correspondiente capa media

·  d (dos capas abajo): el lado inferior y la correspondiente capa media

·  l (dos capas izquierda): el lado a la izquierda del frente y la correspondiente capa media

·  r (dos capas derecha): el lado a la derecha del frente y la correspondiente capa media

·  x (rotar): rotar el cubo entero en R

·  y (rotar): rotar el cubo entero en U

·  z (rotar): rotar el cubo entero en F

Cuando una letra es seguida por una prima, indica un movimiento en el sentido contrario a las agujas del reloj, mientras que una letra sin prima indica un movimiento en sentido de las agujas del reloj. Una letra seguida por un 2 (ocasionalmente en superíndice, 2) indica dos giros, o un giro de 180º.



José Manuel Cáceres y Guillermo Ordoñez