El Número Áureo (continuacion)

Continuación de "El Número Áureo"

El rectangulo aureo

Veamos ahora como se puede dividir un segmento en media y extrema razón de forma geométrica, cuya proporción sea Φ

1º Construimos un triángulo rectángulo de catetos b y b/2 2º Con centro en B y radio CB, trazamos un arco de circunferencia que cortará AB en M 
3º Con centro en C y radio CB, trazamos otro arco que corta AC en D 
4º Con centro en A y radio AD, trazamos un arco que corta AB en E





Casi todas las tarjetas que usamos a diario (DNI, de crédito, salud, piscina,…) tienen el mismo tamaño y forma o como mínimo la misma proporción.

Reconocer y construir un rectángulo áureo 

Un rectángulo es áureo cuando la relación entre sus lados es Φ.
1) Dibuja un cuadrado que tenga 2 cm. de lado:

2) Halla el punto medio de la base
3) Une el punto medio anterior con el vértice superior derecho
4) Haciendo centro en el punto medio de la base y con radio igual a la longitud de la recta que acabas de trazar dibuja una circunferencia

6) Prolonga la línea de la base hasta cortarse con la circunferencia 

7) Calculamos la longitud del radio de la circunferencia, es decir, de r:

El triángulo de color rojo es un triángulo rectángulo en el que los catetos valen 1 cm. y 2 cm. siendo r el valor de la hipotenusa. 

7) Haciendo uso del teorema de Pitágoras escribimos:

8) La línea de color amarillo de la siguiente figura valdrá:

9) ¿Cuánto vale la línea de figura siguiente?

10) Traza una perpendicular de 2 cm. a la línea en el punto B:

11) Unimos el vértice superior derecho del cuadrado con la perpendicular al punto B, de la base

Propiedades del rectángulo aureo

Es un rectángulo que posee una proporcionalidad entre sus lados igual a la razón áurea. Es decir que es aquél rectángulo que al substraer la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es igualmente un rectángulo áureo. A partir de este rectángulo se puede obtener la espiral dorada, que es la única espiral logarítmica.

Espiral logarítmica

Algunas de las manifestaciones más prodigiosas de Φ se encuentran en las espirales, en las que Φ tiene comportamientos curiosos.
Supongamos que partimos de un rectángulo áureo al que vamos restando cuadrados para obtener nuevos rectángulos áureos.
En cada uno de los cuadrados que vamos sustrayendo, trazamos cuadrantes de circunferencias con radio el lado del cuadrado y centro en el vértice de cada uno de ellos.
Así obtenemos la espiral logarítmica.

Pentágono regular

Hay muchos trazados que no se pueden resolver con regla y compás (cuadratura del círculo , duplicación de un cubo,…). Sin embargo, el pentágono regular sí puede trazarse indirectamente con regla y compás con la ayuda de Φ.

Gracias a este espectacular y particular número se pueden construir muchas más figuras especiales como el triángulo áureo, la estrella pentagonal,…Y también se pueden hacer embaldosados periódicos y no periódicos, mosaicos de Penrose.

 

También este número participa en el juego ya que todo juego de azar tiene base matemática. Aparece en juegos como el pentágono estrellado, las damas áureas…

Este número esta presente en muchos sitios aunque no nos damos cuenta, vamos a poner varios ejemplos: 

#En el modelo del hombre ideal

#En la galaxia 

#En las proporciones de nuestro cuerpo

#En el famoso cuadro de la Mona Lisa

#En una simple caracola

#En el famoso Partenón

#En Notredame

Conclusión

En número áureo o número de oro es un número tan complejo y espectacular que tiene limites inimaginables. Nosotros en nuestra vida cotidiana no relacionamos este número, ni ningún otro con cualquier cosa que hacemos, pero están presente todos los días en nuestras vidas en las cosas más simples, lo hemos visto con este número, que tan solo lo hemos examinado por encima.

Marta Garduño García