TEMA 3: DETERMINANTES

3.1 Determinantes de orden dos

El determinantede una matriz cuadrada de orden dos es un número que se obtiene:

A=(a11 a12 a21 a22 ); det A=a11·a22-a21·a12    el determinante se indica: |A|

Propiedades de los determinantes de orden dos:

1. El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta.
2. Si un determinante tiene una línea (fila o columna) de ceros, entonces su determinante es cero.
3. Si permutamos las dos filas (o las dos columnas) de una matriz, su determinante cambia de signo.
4. Si una matriz 2x2 tiene las dos filas (o las dos columnas) iguales, su determinante es cero.
5. Si multiplicamos cada elemento de una fila (o de una columna) de una matriz por un número, el determinante de esa matriz queda multiplicado por ese número.
6. Si una matriz tiene sus dos filas (o sus dos columnas) proporcionales, su determinante es cero.
7. Si una columna (o una fila) de una matriz es suma de dos, su determinante puede descomponerse en suma de los determinantes de dos matrices.
8. Si una columna (o una fila) de una matriz se le suma la otra columna (o la otra fila) multiplicada por un numero, el determinante de la nueva matriz es igual al de la primera.
9. El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes: |A·B|= |A|·|B|

3.2 Determinantes de orden tres.

Det |A|= |a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 |= a11·a22·a33+a12·a23·a31+a13·a21·a32-a13·a22·a31-                                                                                                                            a12·a21·a33-a11·a23·a32

Otra forma de resolverlo es: |a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 |a11 a12 a21 a22 a31 a32 = a11·a22·a33+a12·a23·a31+

a13·a21·a32-a13·a22·a31-a11·a23·a32-a12·a21·a33

siendo sumadas todas las diagonales hacia la derecha y restadas todas las diagonales hacia la izquierda.

Propiedades:

Posee las mismas propiedades que las matrices de segundo orden añadiendo una nueva:

10. Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, entonces su determinante es cero. Y, recíprocamente: si un determinante es cero, tiene una fila (y una columna) combinación lineal de las demás.

3.3 Determinantes de orden cualquiera.

Las propiedades vistas con anterioridad valen para cualquier matriz de orden 3 o mayor de 3.

|A|=|a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … am1 am2 … amn | se resuelve al igual que la matriz de orden 3.

3.4 Menor complementario y adjunto.

“Menor de una matriz”

Si en una matriz seleccionamos r filas y r columnas, los elementos en los que se cruzan forman una submatriz cuadrada de orden r. El determinante de esa submatriz se llama menor de orden r de la matriz inicial.

“Menor complementario” y “adjunto”de un elemento en una matriz cuadrada.

Si en una matriz cuadrada nxn destacamos un elemento, aij, al suprimir su fila y su columna se obtiene una submatriz (n-1) x(n-1). Su determinante es una menor de orden n-1 que se llama menor complementario del elemento aij y se designa por αij.

Se llama adjunto de aij al número Aij= (-1)i+j· αij; es decir, al menor complementario con su signo o con el signo cambiado, según que i+j sea par o impar.

Ejemplo: menor complementario de α11|1 2 1 0 1 -1 0 1 0 1 2 1 0 1 0 2 |     α11= |-1 0 1 1 2 1 1 0 2 |= -6

Su adjunto sería: A11= (-1)1+1·α11= -6

3.5 Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea.

Aquí tenemos las dos últimas propiedades que estudiaremos de los determinantes:

11. Si los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada se multiplican por sus respectivos adjuntos y se suman los resultados, se obtiene el determinante de la matriz inicial. Se dice entonces que el determinante está desarrollado por los elementos de esa línea.
12. Si los elementos de una fila (o columna) se multiplican por los respectivos adjuntos de otra paralela, el resultado de la suma es cero.

3.6 Método para calcular determinantes de orden cualquiera.

Si la matriz tiene varios ceros en una fila o columna utilizamos la propiedad antes dicha para obtener su determinante, la propiedad 11.

Si no tiene varios ceros los fabricamos nosotros a través de la propiedad 8.

3.7 El rango de una matriz a partir de sus menores.

La conclusión necesaria y suficiente para que el determinante de una matriz cuadrada sea cero es que sus filas (o columnas) sean linealmente dependientes, esto es, que alguna de ellas se pueda poner como combinación lineal de las otras.

Si |A|=0  las filas de A son linealmente dependientes

Si |A| ≠0  las filas de A son linealmente independientes.

El rango de una matriz es el máximo orden de sus menores no nulos.

Método de orlar: cuando un determinante nos da cero, entonces nos saltamos una de las filas o columnas que hemos utilizado y probamos con otra hasta hallar un determinante no nulo, si no lo encontramos entonces el rango de esta matriz es menor del orden con el que estamos operando.

RESUMEN: a través de los determinantes podemos calcular el rango de una matriz, nos sirve para solucionar sistemas de ecuaciones y podemos averiguar antes de hacer todos los cálculos si una matriz tiene inversa, ya que si el determinante de A es distinto de cero si tiene inversa, pero si es cero no tiene inversa. Si tiene la podemos calcular a través de:

1º calculamos el determinante de A (|A|)

2º calculamos la traspuesta de A (At)

3º calculamos la matriz adjunta de At, la cual obtenemos al cambiar cada elemento por su adjunto

4º A-1=1|A|· adj (At)

Ejemplo:

A= (1 -1 -1 -1 0 3 -2 5 -3 )                          1º: |A|= -1≠0 ЭA-1

2º At= (1 -1 -2 -1 0 5 1 3 -3 )

3º matriz adjunta de A-1=(-15 -8 -3 -9 -5 -2 -5 -3 -1 )

4º A-1=1|A|· adj (At)      A-1= 1-1·(-15 -8 -3 -9 -5 -2 -5 -3 -1 )     A-1=(15 8 3 9 5 2 5 3 1 )    A·A-1=I

Delia Soraya Ruiz Soriano