TEMA 8: “Límites de funciones. Continuidad”
- Límite de una función cuando x-> +∞
•Límite finito. Definición:
Lim f(x) = L <-> Darle valores a f(x) que estén tan próximos a L.
x->+∞
•Operaciones con límites finitos.
Si Lim f(x)= a y Lim g(x)= b ,se cumplen las siguientes relaciones:
x->+∞ x->+∞
- Lim[ f(x) + g(x)] = Lim f(x) + Lim g(x) = a+b
x->+∞ x->+∞ x->+∞
- Lim [f(x)- g(x)] = Lim f(x) – Lim g(x) = a-b
x->+∞ x->+∞ x->+∞
- Lim [f(x) · g(x)]= Lim f(x) · Lim g(x) = a·b
x->+∞ x->+∞ x->+∞
- Lim f(x)g(x) = Lim f(x) x→+∞ Lim g(x) x→+∞ = ab
x->+∞
- Si f(x)>0; Lim [f(x)g(x) ] = {Lim f(x) x→+∞ Lim g(x) x→+∞ } = ab
x->+∞
- Si n es impar Lim nf(x) = nLim f(x) x→+∞ =na
O si n es par y f(x) ≥ 0 x->+∞
- Si ∝ > 0 y f(x) > 0; Lim [log∝ f(x) ] = log∝ [Lim f(x) x→+∞ ] = log∝ a
x->+∞
•Límites infinitos. Definiciones
limx→+∞ f(x) =+ ∞ Dado un número k (arbitrario) podemos encontrar otro h (tan grande como sea necesario) si x>h entonces f(x) > k.
limx→+∞ f(x) =-∞ Dado un número k (arbitrario grande) podemos encontrar otro h (tan grande como sea necesario) tal que : si x>h , f(x)< -k.
•Comparación de infinitos.
Las funciones exponenciales son infinito de orden superior a las funciones expresadas por potencias y las potencias son infinito de orden superior a las funciones logarítmicas. Veámoslo con un ejemplo claro:
limx→+∞ 100000x9992x =0
El límite es 0 ya que en el denominador hay una función infinito de orden superior a la que hay en el numerador.
Sin embargo puedo ocurrir que ambas funciones sean infinitos equivalentes por tanto su resultado sería un número determinado. Ejemplo:
limx→+∞ 3x2x = 32
El resultado del límite es 3/2 ya que ambas son infinito equivalentes porque tienes igual grado( numerador grado 1, denominador grado 1)
•Límites de cociente de funciones cuando x->+∞
• ∞ f(x) es un infinito de orden superior a g(x)
• L≠0 Las funciones son infinito equivalentes
• 0 g(x) es un infinito de orden superior a f(x)
limx→+∞ f(x)g(x)
•Operaciones con expresiones infinitas.
COCIENTES
L±∞=0
L0= ±∞ Si l ≠0
±∞0= ±∞
0±∞=0
SUMA
(+∞) + (l) = (+∞)
(+∞) + (+∞) = (+∞)
(-∞) + (l) = (-∞)
(-∞) + (-∞) = (-∞)
-(-∞) = (+∞)
PRODUCTOS
+∞ · +∞ = + ∞
+∞ · -∞ = -∞
+∞·l = +∞
-∞ · l = -∞
+∞· l = -∞
+∞ · l = -∞
-∞· l = +∞
POTENCIAS
+∞+∞= +∞
+∞-∞=0
Si l >0 +∞-∞= +∞
Si l < 0 +∞-∞=0
Si l ≠0 l0=1
l+∞= +∞
Si l > 1
l-∞=0
l+∞=0
Si 0< l< 1
l-∞= + ∞
•Indeterminaciones
Una indeterminación es el reconocimiento de que con solo conocer los límites de las funciones que intervienen no podemos averiguar el límite al resultado de la operación. Hay que efectuar una investigación más profunda que nos permita llegar al valor de dicho límite.
TIPOS DE INDETERMINACIONES
(+∞) – (+∞) ((±∞) · 0 00 (+∞)(0) 1(±∞) 00 ±∞±∞
- Cálculo de límites cuando x-> +∞
- Comparación de infinitos
limx→ +∞ 2x- x = +∞
+∞ - (+∞) = +∞ ; porque 2x es de orden superior.
- A veces hay que realizar la operación ( sobre todo en funciones racionales)
limx→+∞ x2+1x - x3x2-x=limx→+∞ (x2+1)(x-1)- x3x(x-1) =limx→+∞ x3-x2+x-1-x3x(x-1) = limx→+∞ -x2+x-1x(x-1) = limx→+∞ -x2+x-1x2-x= -1
- Cuando hay radicales (hay que dividir o multiplicar por el conjugado)
limx→+∞ x - x+1= (x-x+1)(x+x+1)x+ x+1=limx→+∞ x-(x+1)x+x+1 = limx→+∞ -1x+1+x = -1+∞=0
•Límite de una potencia ( si limx→∞ f(x)=a )
Si a > 1 limx→+∞ f(x)g(x)= a+∞ = +∞
Si 0≤a<1 el valor del límite es 0
limx→+∞ xx+x+1= 1+∞2 =0
Si a=1 es una indeterminación ya que quedaría 1+∞
limx→+∞ f(x)g(x)
•Resolución de indeterminaciones tipo 1±∞
limx→+∞ (x+1x-1)x = 1+∞ INDT. = el.
Por tanto,
limx→+∞ f(x)g(x) = el = elimx→+∞ g(x)·(f(x)-1)
•Límite de una función cuando x->-∞
Se realiza una transformación
limx→-∞ f(x)= limt→+∞ f(-t)
x= -t
•Límites cuando x->c
Hay que estudiar los límites laterales para saber cómo se comporta la función
limx→c- f(x)
limx→c f(x)
limx→c+ f(x)
limx→c f(x) Existe y vale un número real l si y solo si existen los dos límites laterales y valen L
limx→c- f(x)=l
limx→c f(x)
limx→c+ f(x)=l
Si cuando calculamos los límites laterales resulta que uno de ellos es infinito se dice que no existe el límite mientras que si ambos limites laterales son infinitos se dice que:
limx→c f(x)= ∞
3.Indeterminaciones
Cocientes de polinomios limx→c P(x)Q(x) Q(x) ≠ 0 no es indeterminación
Q(x) = 0 es indeterminación; pueden darse 3 casos:
CASO 1
Cuando P(c)=0 y Q(c)=0 por tanto quedaría 00 entonces se resuelve dividiendo la fracción tanto el numerador como el denominador por x-c
CASO 2
Cuando P(c)≠0, entonces el límite es ±∞. Puede ser distinto el límite a la izquierda y a la derecha de c. Por tanto se recomienda hallar los límites laterales.
CASO 3
Si los polinomios están afectados por radicales se resuelven sacando índice común.
Ejemplo:
limx→-3 x2+2x-33x3+3x2 = limx→-3 6[(x+3)(x-1)]36[x2(x+3)]2 = 609·12
4.Límites de funciones definidas a trozos
-x+1x si x≤-1
f(x) ln (x+1) si-1<x≤2
x2+1 si x>2
Otro ejemplo de función definida a trozos con gráfica:
- Continuidad de funciones.
Se deben de cumplir 3 condiciones para que una función se a continua.
•Tipos de discontinuidades
Cuando no existe el limx→a f(x) se dice que la discontinuidad es INEVITABLE
Si los límites laterales son finitos (y distintos) es una discontinuidad de SALTO FINITO
Si alguno de los dos es infinito ( o ambos como en la gráfica) es una discontinuidad INEVITABLE DE TIPO INFINITO
Se dice que una función es continua en un intervalo concreto cuando lo es en todos los puntos del intervalo.
Las funciones elementales(polinómica,racionales,irracionales,trigonométricas..) son continuas en sus respectivos dominios.
- Teorema de Bolzano.
Si f(x) es una función continua en un intervalo cerrado [a,b] y signo f(a) ≠ signo f(b) entonces existe un número real c perteneciente al intervalo [a,b] tal que f(c)=0
“Hay un número entre a y b en el que f(x) se anula
Consecuencia: todas las ecuaciones polinomicas de grado 3 tienen al menos una solución
Si f(x) y g(x) son 2 funciones continuas en [a,b] y signo distinto f(a)- g(a) ≠ f(b) -g(b) ,entonces existe un número real c perteneciente al intervalo (a,b) en el que f(c)=g(c)
Geométricamente equivale a que las curvas y=f(x) e y=g(x) se corten en un punto entre a y b
Sara Gonce Romero
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