TEMA 11: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

TEMA 11: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

11.1- ELEMENTOS FUNDAMENTALES PARA LA

CONSTRUCCIÓN DE CURVAS

Para la representación de funciones tenemos varias herramientas que nos servirán para conocer la trayectoria de su curva, estas son:

   1.- Dominio: es el conjunto de valores para los cuales la función está definida. El dominio según el tipo de función es:

-Polinomio: D = R

- Cocientes: D = R – {puntos que anulan el denominador}

- Raíces de índice par: D = {Lo de dentro de la raíz ≥ 0}

- Raíces de índice impar: D = R

- Logaritmos: D = {Lo de dentro del logaritmo > 0}

- Exponenciales: D = R

- Trigonométricas: Seno y coseno D = R ; El resto se estudia como un cociente

- Arcoseno y arccoseno : D = {-1 ≤ Lo de dentro del arco ≤ 1}

   2.- Puntos de corte: se calculan para saber los puntos en los que la función corta con los ejes X, Y. Se calcula:

- Con el eje OX : y = 0 ⇒ x = x0 ⇒ P(x0,0)

- Con el eje OY : x = 0 ⇒ y = y0 ⇒ P(0,y0)

   3.- Simetría: Es el punto en el que la gráfica vuelve a describir el mismo movimiento, aunque puede mostrar algunas diferencias. Los tipos de simetrías son:

- Simétrica respecto del OY o par: f (-x) = f(x)

- Simétrica respecto del Origen o impar: -f(-x) = f(x)

- No simétrica

   4.- Signo de la función

- Se calculan los puntos que no pertenecen al dominio ⇒ x = a,....

- Se resuelve la ecuación f(x) = 0 ⇒ x = x0, x = x1,.....

- Estos puntos dividen la recta real en partes, tomando un punto en cada intervalo y sustituyendo en y = f(x) se obtiene el signo de la función

   5.- Asíntotas: En matemática, se le llama asíntota a una línea recta que se aproxima continuamente a otra función o curva; es decir que la distancia entre las dos tiende a ser cero (0), a medida que se extienden indefinidamente. Pueden ser:

- Asíntotas verticales: Puntos donde la función se va al infinito:     y ⇒ ∞, x = a

- Cocientes: Puntos que anulan el denominador

- Logaritmos: Puntos que anulan lo de dentro del logaritmo

- Aproximación a la asíntota: Calcular límites laterales

- Asíntotas horizontales: Puntos donde la x se va al infinito:

x ⇒ ∞, y = b

- Cálculo: lim f(x) bx=→∞⇒ y = b- Aproximación f(±100)< b La función por debajo de la asíntota > b La función por encima de la asíntota

- Asíntotas oblicuas

- Cálculo : y = mx + n; m =x f(x) lim x→∞; n = lim [f(x) mx]x

6.- Puntos críticos: es cualquier valor en el dominio en donde la función no es diferenciable o cuando su derivada es 0. El valor de la función en el punto crítico es un valor crítico de la función.

- Se calculan los puntos que no pertenecen al dominio ⇒ x = a,....

- Se resuelve la ecuación f ’(x) = 0 ⇒ x = x0, x = x1,.....

- Estos puntos dividen la recta real en partes, tomando un punto en cada intervalo y sustituyendo en y = f ’(x) se obtiene el signo de la función

- Si f ‘(a) > 0 la función es creciente en dicho intervalo, y si es < 0 es decreciente.

- Máximo relativo: P(a,f(a)) : x = a es el punto del dominio donde la función pasa de creciente a decreciente.

- Mínimo relativo: P(a,f(a)) : x = a es el punto del dominio donde la función pasa de decreciente a creciente.

7.- Curvatura y puntos de inflexión: Es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otra. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.

- Se calculan los puntos que no pertenecen al dominio ⇒ x = a,....

- Se resuelve la ecuación f ’’(x) = 0 ⇒ x = x0, x = x1,.....

- Estos puntos dividen la recta real en partes, tomando un punto en cada intervalo y sustituyendo en y = f ’’(x) se obtiene el signo de la función

- Si f ‘(a) > 0 la función es convexa en dicho intervalo, y si es < 0 es cóncava.

- Puntos de inflexión: P(a,f(a)) : x = a es el punto del dominio donde la función cambia la curvatura.

8.- Tabla de valores:

Dando valores a la “x” se calculan los correspondientes de la “y” sustituyendo en la función.

11.2 – REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES POLINÓMICAS

Coincide con la representación normal de la curvatura de una función: F(x) = P(x)

DOMINIO: D(f) = R

PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES:

OX: y = 0 ⇒ x = x0 ⇒ P(x0,0)

OY: x = 0 ⇒ y = y0 ⇒ Q(0,y0)

RAMAS INFINITAS DE LA FUNCIÓN

(No hay asíntotas)= ±∞→+∞lim f(x)x= ±∞→−∞lim f(x)x

EXTREMOS

CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN

REPRESENTACIÓN GRÁFICA (Y tabla de valores)