TEMA 10: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS (4)

DEBIDO A PROBLEMAS DE COMPATIBILIDAD NO SE HAN PODIDO INCLUIR ECUACIONES Y DEMÁS SÍMBOLOS PERTENECIENTES AL DOCUMENTO ORIGINAL

1- RECTA TANGENTE A UNA CURVA

Interpretación geométrica de f´(x₀):

F (x_o)= tg α=pendiente de la recta tangente a la curva;

 y= f(x) en el punto (x_o,f(x_o))

·Ecuación punto-pendiente

y-y_{o =} m(x-x₀)                      m= pendiente

                                            (x_o, y_o) = a un punto de la recta

·Ecuación de la recta tangente a la curva

y= f(x) en el punto de tangencia (x_o, f(x_o))

y -f(x_o)=f´(x_o)  (x-x_o)

Ejemplo:

, ,

Nos da los puntos

de tangencia

 f(x_o) = 0 , f’(x_o) = 8

y=8x Ø forma explícita

x₁=1, f(x₁)= 4 ; f´(x₁) = -9

y- 4 = -9 (x-1)  à  y = -9x+13 à forma explícita

x₂= 3 à es de la misma manera que x_o y x₁

Recta tg. Paralela a 2x + y =0 à y = -2x

    

y-y_o= m (x-x_o) à siempre nos tiene que dar un dato.

à Averiguar cuál de todas estas paralelas es la que buscamos.

           

           M= 2

Ya que son paralelas

¿Cuál es el x_o en el que f´(x_o) = -2?

Puede haber más de una ya que la curva puede repetir movimiento.

f’(x) = -2

1=(x-1)²

   x= 0

x²- 2x= 0                                    à    

                                  

                                       x=2

f(0) = 0        y-0 = -2(x-0)   f(2)= 4     y -4= -2(x-2)

2 – INFORMACION EXTRAIDA DE LA PRIMERA DERIVADA

• Crecimiento y decrecimiento de una función I

Una función es creciente en x_o:, si existe un entorno de x_{o, (}x_o-a, x_o+a) en el que:

Si x < x´ entonces f(x) ≤ f(x´)  

y si es decreciente en x_o: si existe un entorno de x_o, (x_o-a, x_o+a), en el que si

x < x´ entonces f(x´)≥ f(x´)

Ejemplo:

                                         

F(x) =x²

x	y
-3	9
-2	4
0	0
1	1
2	4

     Puntos extremos (ni crecientes ni decrecientes)
                                             

• Crecimiento y decrecimiento II

M = f´(x_o)

Relación entre crecimiento y derivada de una función.

Si f´(x_o) > 0à Entonces y = f(x) es creciente en x_o

Si f´(x_o) < 0à Entonces y = f(x) es decreciente en x_o

Si f´(x_o) > 0à xo es un punto crítico ( o punto singular)

• Extremos de una función

Un  punto (x_o, f(x_o)) es un máximo relativo (o local) de la función y =f(x), si existe un entorno (x_o-a, x_o+a), de x_o en el que f(x) ≤ f(x_o)

Fuera de ese entorno la función puede superar ese máximo relativo.

Se dice que (xo,f(xo)) es un máximo absoluto (o global ) de la función y =f(x) si, en todo el dominio de f, se cumple que f (x) ≤ f(x_o).

 Un punto (x_o, f(x_o)) es un mínimo relativo ( o local) de la función y = f(x) si existe un entorno (x_o-a, x_o+a) de x_o, en el que f(x) ≥ f(x_o).

Se dice que (x_o, f(x_o)) es un mínimo absoluto ( o global) de la función: y=f(x), si en todo su dominio, se cumple que   f(x) ≥ f(x_o)

Consecuencias: Extremo absolutoà Extremo relativo

Pero extremo relativo à   extremo absoluto.

3.  INFORMACIÓN EXTRAIDA DE LA 2ª DERIVADA

• Para el cálculo de extremos.

Si ( x_o,f(x_o) es un punto singular de una función y = f (x), se cumple:

• Si f”(x_o)> 0, entonces (x_o,f(x_o)) es un mínimo relativo
• Si f”(x_o)< 0, entonces (x_o,f(x_o)) es un máximo relativo
• Si f”(x_o) = 0, no sabemos lo que es.

Ejemplo:

f(x)= x⁴8x³+22x²+24x+9

                                                           x_o= -1

f´(x) = 4x³+24x²+44x+24                       x_o= -2

                                                           x_o= -3

f” (x)= 12x²+48x+44

f” (-1)=12-48+44=8 > 0 à (-1, f(-1)) es un mínimo relativo

f” (-2)= 48-96+44= -4 < 0 à (-2, f(-2)) es un máximo relativo

Otro ejemplo:

f(x)= -3x⁴+4x³

f´(x)= -12x³+12x²=0;   x=o; x=1

Posibles extremos

(0,f(0))= (0,0)

(1,f(1))= (1,1)                         f”(0)=0 à ¿ .?

F”= -36x²+24x             f” (1)= -12 < 0; (1,1) hay un máximo relativo

• Curvatura de una función

 

                    à Curva por debajo de la tangente/ tangente decrece

 

Curva por encima de la tangente/ tangente crece

Dada una función y=f(x) y un punto (x_o, f(x)

Consideramos t (x) la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (x_o,f(x_o))

-          Si en un entorno de x_o se cumple que f(x) > t(x) entonces se dice que y =f(x) es cóncava en x_o.

-          Si en un entorno de x_o se cumple que f(x) < t(x) entonces se dice que y =f(x) es convexa en x_o.

Si f´(x) creceà cóncava

Si f´(x) decreceà convexa

·Regla para el estudio de la curvatura

Si f” (x)  > 0 en un intervalo (a, b) entonces f(x) es cóncava en (a, b)

Si f” (x)  < 0 en un intervalo (a, b) entonces f(x) es convexa en (a, b)

·Punto de inflexión de una función y =f(x)

Es un punto (x_o,f(x_o)) en el que cambia la curvatura, es decir, los posibles punto de inflexión de una función son los que anulan a f”(x).

·Resumen: crecimientos, extremos y curvatura

 -  f´(x) =0 à Puntos críticos. Posibles extremos (relativos)

                                                       f´(x) > 0 à creciente

                                         Signo de f´(x)

                                                                                       f´ (x) < 0 à decreciente

                                                                                  f”(x_o)> 0 mínimo

Extremos (x_o,f(x_o)): punto crítico y

                                                                                  f” (x_o) < 0 máximo

-  f” (x) = 0 à Posibles puntos de inflexión (x_o,f(x_o)),

                                                                                  F”(x) > 0 cóncava     

tales que f”(x_o)= 0 à signo de f” (x_o)

                                                                                  f”(x) < 0 convexa 

4- OPTIMACIÓN DE FUNCIONES

·Cálculo de los extremos de una función f(x) en un intervalo [a,b]

Lo que nos interesa no son los extremos relativos de la función sino los absolutos. Reglas para obtenerlos:

a)      Si f(X) es derivable en [a,b], los máximos y los mínimos absolutos está, entre los puntos singulares y los correspondientes a los extremos del intervalo:

     

Por tanto, para hallarlos:

-          Se resuelve la ecuación F´(x) =0

-          Se seleccionan las raíces x₁,x₂, x₃,…… que están entre a y b

-          Se calcula f(a), f(x₁), f(x₂)….  y f(b)

-          Con estos valores se verá cuál es el máximo y cual es el mínimo.

b)      Si hay algún punto de [a,b] en el que la función no sea derivable, aunque sí continua, calcularemos, además, el valor de f en ese punto, pues podría ser un extremo.

c)      Si f no es continua en algún punto x_o de [a, b] , estudiaremos el comportamiento de la función en las cercanías de x_o.

d)      En todos los problemas hay que justificar que hay máximo o mínimo global.

5- REGLA DE L`HÔPITAL

Dadas dos funciones f y g, derivable en un entorno de x=a. y tales que , y , se cumple que:

Si existe , entonces existe el  y es igual a l.

Ejemplo:

                                                                                                          Indeterminación: L’H

               

·Observación:

Se puede aplicar la regla de L`HÔPITAL cuando xà + _∞ y a indeterminaciones

                                                                                                                                                                               

Ejemplo:

                (_{∞ - ∞)}  Indeterminación de esta forma no se puede aplicar la regla, hay que transformarlo.

                                                                                                                   _L’H

 

·Demostración del orden de infinitos

                  

                                                                                                            L’H                 

                                                                                                           L’H

                                                                                                             L’H

                                         

Marta Garduño García