TEMA 10: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS (3)

1. Recta tangente a una curva en uno de sus puntos.

• f ’(Xo) = tg α = pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en Xo.
• Ecuación punto pendiente.

y-Yo = m(x-Xo)  , donde m = pendiente y (Xo, Yo) es un punto de la recta.

• Ecuación de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto de tangencia (Xo, Yo):

y-f(Xo) = f ’ (Xo)(m-Xo)          y = f(Xo)+f ’(Xo)(x-Xo)

2. Información extraída de la primera derivada.
1. Crecimiento y decrecimiento de funciones.

Función creciente en Xo si existe un entorno de Xo en el que si x<x’ , f(x)≤f(x’) ; decreciente si en el entorno si x<x’ , f(x)≥f(x’).

2. Relación entre crecimiento y derivada de una función.

• Si f ’(Xo) > 0  y = f(x) es creciente en Xo.
• Si f ’(Xo) < 0  y = f(x) es decreciente en Xo.
• Si f ’(Xo) = 0  Xo es un punto crítico.

3. Máximos y mínimos relativos y absolutos. Definición.

• Un punto (Xo, Yo) es un máximo relativo de una función y = f(x) si existe un entorno de Xo en el que f(x) ≤ f(Xo).
• Un punto (Xo, Yo) es un mínimo relativo de una función y = f(x) si existe un entorno de Xo en el que f(x) ≥ f(Xo).
• Un punto (Xo, Yo) es un máximo absoluto de una función y = f(x) si en todo el dominio de f se cumple que  f(x) ≤ f(Xo).
• Un punto (Xo, Yo) es un mínimo absoluto de una función y = f(x) si en todo el dominio de f se cumple que  f(x) ≥ f(Xo).

♦ Consecuencia. Si hay extremo absoluto, hay extremo relativo y coinciden.

4. Condición necesaria de máximo y mínimo relativo en funciones derivables.

Si f(x) es derivable en Xo y tiene un máximo o un mínimo en él f ’(Xo) = 0. También puede ocurrir que no f ’(Xo) = 0 y no sea un extremo, sino un punto de inflexión.

5. Regla para identificar extremos relativos.

Estudiar el signo de la derivada en las proximidades del punto (izquierda y derecha):

• Máximo  f ’ > 0 a su izquierda y < 0 a su derecha.
• Mínimo  f ’ < 0 a su izquierda y >0 a su derecha.
• Punto de inflexión  mismo signo a ambos lados.

3. Información extraída de la segunda derivada.
1. Aplicación para el cálculo de extremos.

Si (Xo, f(Xo)) es un punto singular de una función y=f(x), se cumple que si f ”(Xo)>0, el punto singular es un mínimo relativo, y si f ”(Xo)<0, el punto singular es un máximo relativo.

2. Concavidad, convexidad y punto de inflexión.

Dada una función y = f(x) y un punto (Xo, f(Xo)), considerando t(x) a la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (Xo, f(Xo)):

• Si en un entorno de Xo se cumple que f(x)>t(x) se dice que y = f(x) es cóncava en Xo.
• Si en un entorno de Xo se cumple que f(x)<t(x) se dice que y = f(x) es convexa en Xo.

♦ Geométricamente, f ’(x) es la pendiente de k(x).

• Si f ’(x) crece, la función es cóncava.
• Si f ’(x) decrece, la función es convexa.

3. Relación de la curvatura con la segunda derivada.

• Si f ”(x)>0 en un intervalo (a,b), f(x) es cóncava en (a,b).
• Si f ”(x)<0 en un intervalo (a,b), f(x) es convexa en (a,b).
• Si f ”(x)=0  posibles puntos de inflexión: Si f ”(Xo)=0 y f ”’(Xo)≠0, Xo es un punto de inflexión.

4. Optimización de funciones.
1. Cálculo de extremos absolutos de una función f(x) en un intervalo [a,b].

1º.  Si f(x) es derivable en [a,b], los extremos absolutos están entre los puntos singulares y los correspondientes a los extremos del intervalo [a,b].

      ◦ f ’(x)=0-

      ◦ Raíces entre a y b (x1, x2…)

      ◦ f(a), f(x1), f(x2)… y f(b).

2º. Calcular f(Xy), siendo Xy un punto de [a,b] en el que f. no es derivable pero sí continua.

3º. Estudiar el comportamiento de f. alrededor de Xo, siendo Xo un punto de [a,b] en el que f. no es continua.

5. La derivación para el cálculo de límites. Regla de L’Hôpital.

Dadas dos funciones, f y g, derivables en un entorno de x=a y tales que limx→a f(x)  =0 y limx→a g(x) =0, se cumple que si existe limx→a f ’(x)g’(x) = ℓ, existe el limx→a f (x)g(x) = ℓ.

*Se aplica a indeterminaciones 00 .

♦ Observación: Se puede aplicar cuando x→ ±∞ a indeterminaciones ∞∞ .

♦ Aplicación: Para demostrar infinitos de distinto orden.

Nuria Rapallo Díaz