TEMA 10: APLICACIONES DE LAS DERIVADA (2)

Unidad 10: Aplicaciones de las derivadas

Introducción:

Problemas como el de la obtención de la tangente a una recta en uno de sus puntos o el cálculo de la velocidad instantánea de un móvil son problemas históricos que, en su momento, dieron lugar a la noción de la derivada; sin embargo fueron los problemas de optimización los que más impulso dieron a la búsqueda de una teoría que diera generalidad a todos los problemas particulares que se habían planteado.

Tema:

10.1 RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UNO DE SUS PUNTOS

La obtención de la recta tangente a una curva en uno de sus puntos es una aplicación inmediata de las derivadas, ya que, f’(x0) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función y = f(x) en el punto de abscisa x0.

Si f(x) es derivable en x0, la ec. de la recta tangente  a  y=f(x) en x0 es:

                   y = f(xo) + f’(x0)(x – x0)

10.2 INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA PRIMERA DERIVADA

Crecimiento y decrecimiento de funciones:

Si f es creciente en x0, existe (x0 - a, x0 + a), un entorno del punto x0, tal que:

• Si  x0-a < x < x0 , entonces f(x) < f (x0).
• Si  x0 < x < x0+a , entonces f(x) > f(x0).

.

Es decir, signo de (x – x0) = signo de [f(x) – f(x0)]

Análogamente, se define f decreciente en x0.

Relación del crecimiento de una función con el valor de su derivada:

f(x) derivable y creciente en x0  f’(x0) ≥ 0.

f(x) derivable y decreciente en x0  f’(x0) ≤ 0.

Criterio para identificar tramos crecientes o decrecientes a partir del signo de la derivada:

f’(x0) > 0  f es creciente en x0.

f’(x0) < 0  f es decreciente en x0.

Máximos y mínimos relativos. Definición:

La idea de máximo relativo en un punto es que la función , en ese punto, vale más que en los puntos que lo rodean.

Condición necesaria de máximo o mínimo relativo en funciones derivables:

Si f(x) es derivable en x0 y tiene un máximo o mínimo en él f’(x) = 0

Regla para identificar extremos relativos:

Un punto singular es máximo relativo, mínimo relativo o punto de inflexión si al estudiar el signo de su derivada a su izquierda y su derecha:

Máximo  f’>0 a su izquierda         f’<0 a su derecha

Mínimo f’<0 a su izquierda           f’>0 a su derecha

Inflexión f’ tiene el mismo signo a la izquierda y a la derecha.

10.3 INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA SEGUNDA DERIVADA:

Concavidad y convexidad y punto de inflexión:

Teniendo una curva y = f(x) y su recta tangente, y= t(x), en un punto P. Entonces:

• Si en las cercanías de P es f(x) > t(x), la curva es cóncava en P.
• Si en las cercanías de P es f(x) < t(x), la curva es convexa en P.
• Si la tangente atraviesa la curva en P, es decir, si a la izquierda de P es f(x)< t(x), y a la derecha es f(x) > t(x), o viceversa, P es un punto de inflexión.

Relación de la curvatura con la segunda derivada:

Si f tiene f’’ en x0:

• f cóncava en x0  f’ es creciente en x0  f’’(x0) ≥ 0
• f convexa en x0  f’ es decreciente en x0   f’’(x0) ≤ 0
• f tiene un punto de inflexión en x0  f’’(x0) = 0

Criterio para detectar el tipo de curvatura:

f’’(x0) > 0  f es cóncava en x0.

f’’(x0) < 0  f es convexa en x0.

f’’(x0) = 0 y f’’’(x0) ≠ 0  f tiene un punto de inflexión en x0.

Aplicación a la definición de máximos y mínimos:

Si f’(x0) = 0 y existe f’’(x0), podemos decir a partir del anterior criterio que si f es cóncava tendrá un mínimo relativo en x0, y si f es convexa tendrá un máximo en x0.

10.4 OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES:

La definición de optimización es "mejorar el rendimiento de algo." Por lo tanto, la optimización con funciones que se emplea en Matemáticas es exactamente eso: mejorar el resultado que se busca. 

La optimización matemática es parte del cálculo diferencial. Se trata de una serie de pasos que nos llevan a resolver planteamientos en los que se busca mejorar aspectos como un costo, una dimensión, producción, etc.

Para resolver estos problemas necesitamos tener claro el cálculo de los extremos de una función f(x) en un intervalo [a , b]. En optimización lo que nos interesa son los extremos absolutos y no los relativos , así que para hallarlos:

• Se resuelve la ecuación f’(x) =  0
• Se seleccionan las raíces x1,x2,x3,… que están entre a y b.
• Se calcula f(a), f(x1), f(x2), f(x3),…y f(b)

Con estos valores se verá cuál es el máximo y cuál es el mínimo absoluto.

10.5 LA DERIVACIÓN PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES: REGLA DE L’HOPITAL:

Sean f y g funciones derivables en un entorno (a-r, a+ r) del punto a.

Si lím, de f(x) cuando x --> a = 0, lím. de g(x) cuando xa = 0 y existe el lím. f’(x)/g’(x) cuando x --> a, entonces también existe lím. f(x)/ g(x) cuando xa y es:

lím f(x)/g(x) cuando xa  =  lim f’(x) / g’(x) cuando x a

Este proceso por el cual se calcula el límite de un cociente del tipo (0/0) mediante el cáculo del límite del cociente de sus derivadas se llama regla de L’Hopital.

Ampliación de la regla de L’Hopital:

Resumen práctico: los límites del tipo lím de f(x) / g(x) cuando xa es -∞, +∞ o un número , si dan lugar a una indeterminación del tipo ( 0/0) o (+∞/±∞), pueden obtenerse derivando numerador y denominador y calculando el límite del cociente de sus derivadas. Si tras esto se llega a otra indeterminación se repite el proceso.

Eduardo Gómez Martínez