TEMA 10: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS (1)

10.1 Recta tangente a una curva en uno de sus puntos

Para obtener la recta tangente de f(x) necesitamos saber un punto, en el punto de abscisas x0
sería:

y = f(x0) + f’(x0) ·(x-x0)

10.2 Información extraída de la primera derivada

Podemos estudiar el crecimiento o decrecimiento de una función al hacer f’(x0):

si f’(x0) es mayor de 0 f(x) es creciente en x0

si f’(x0) es menor que 0 es decreciente en ese punto

si f’(x0) es igual la 0 es un punto critico

También podemos estudiar los máximos y mínimos:

Un punto (x0, f(x0)) es un máximo relativo o local de la función y= f(x) si existe en un entorno
(x0-a, x0+a) de x0, en el que f(x) ≤f(x0)

Se dice que (x0, f(x0)) es un máximo global o absoluto de la función y= f(x) si en todo el dominio
de f, se cumple que f(x) ≤f(x0)

Un punto (x0, f(x0)) es un mínimo relativo o local de la función y=f(x) si existe un entorno (x0-a,
x0+a) de x0, en el que f(x) ≥f(x0)

Se dice que (x0, f(x0) es un mínimo absoluto o global de la función y=f(x) si en todo el dominio
de f se cumple que f(x) ≥f(x0)

Esto lo podemos estudiar extrayendo las raíces de f’(x) (x1, x2) y estudiando si en los intervalos
de - a x1 y de + a x2 crece o decrece

Si en el primer intervalo crece y en el segundo decrece es un máximo relativo o absoluto

Si en el primer intervalo decrece y en el segundo crece es un mínimo relativo o absoluto

Si en ambos crece o decrece es un punto de inflexión

Ejemplo de crecimiento, decrecimiento, máximo y mínimo relativo:

De la función f(x)=x4+8x3+22x2+24x+9 su grafica es la siguiente:

crece: (-3,-2) (-1,+∞)

mínimo relativo (-3,f(-3)) (-1,f(-1)) máximo relativo (-2,f(-2))

decrece (-∞,-3) (-2,-1)

10.3 Información extraída de la segunda derivada.

Podemos extraer la convexidad y concavidad de la función:

Si f’’(x) es mayor que 0 en un intervalo (a, b) entonces f(x) es cóncava en (a, b) y en ese
intervalo crece la función

Si f’’(x) es menor que 0 en un intervalo (a, b) entonces f(x) es convexa en (a, b) y en ese
intervalo decrece la función

Si f’’(x) es igual a 0 nos encontramos ante un punto donde cambia la curvatura pero no cambia
si crece o decrece

En los puntos críticos, si f(x0) es mayor que 0 en un mínimo

Si f(x0) es menor que 0 es un máximo.

Ejemplo de curvatura de la función y= 3x4-8x3+5

Su grafica es:

cóncava: (-∞,0) (4/3,+∞)

convexa: (0,4/3)

10.4 Optimización de funciones.

Para resolver los problemas debemos seguir los siguientes pasos:

1º tenemos que encontrar la ecuación o las ecuaciones correspondientes

2º Resolvemos la ecuación f’(x)=0

3º seleccionamos las raíces que están en el intervalo adecuado (a, b)

4º calculamos f(a), f(x1, f(x2)…f (b)

10.5 La derivación para el cálculo de límites: regla de L’Hôpital

Dadas dos funciones f y g, derivables en un entorno de x=a, y tales que =0 y =0, se cumple que
existe =l, entonces existe =l

A este método se le denomina regla de L’Hôpital y se utiliza para resolver limites en los
que nos aparece un cociente como o o expresiones con o derivando el numerador y el
denominador.

10.6 Dos importantes teoremas:

Teorema de Rolle: f es continua en [a, b] y derivable en (a, b). Si f(a)=f (b), existe algún punto c
Є (a, b) tal que f’(c)=0

Teorema del valor medio: f es continua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces, existe algún
punto c Є(a, b) tal que: f’(c)= . Este teorema nos sirve para demostrar que

f es contante en [a, b] si f’(x)=0 en todos los puntos de (a, b)

F es creciente en [a, b] si f’(x)>0

F presente un mínimo en x0 si f’(x0)=0 y f’’(x0)>0

Delia Soraya Ruiz Serrano