5: VECTORES EN EL ESPACIO
5.1
Operaciones con vectores
Vector
.
Origen A, extremo B.
Módulo
de
es la distancia de A a B. Se designa así:
Dirección
de
es la de la recta sobre la que están A y B y
la de todas las rectas paralelas a ella.
Cada
dirección admite dos sentidos opuestos: de A a B y de B a A.
Dos
vectores son iguales cuando tienen el mismo modulo, la misma dirección y el
mismo sentido.
Producto de un vector por un número
El
producto de un número K≠0 por un vector
es otro vector k∙
que tiene:
·
Dirección:
la misma que
·
Sentido:
el mismo que el de
o su opuesto, según que K sea positivo o
negativo.
·
Modulo:
igual al producto del modulo
por el valor absoluto de K:
El
producto 0
es igual al vector cero. Es un vector cuyo
origen y extremo coinciden y por tanto su modulo es cero. Carece de dirección.
El
vector -1
se
designa por -
y se llama opuesto de
.
Vectores unitarios
Los
vectores de módulo 1 se llaman vectores unitarios.
El
vector
es un vector unitario con la misma dirección y
el mismo sentido que
El
vector
es unitario con la misma dirección que
,
pero con sentido opuesto.
Suma y resta de
vectores
·
Para
sumar dos vectores,
y
se
sitúa
a continuación de
de manera que el origen de
coincida con el extremo de
.
·
Para
restar dos vectores,
, se le suma a
el opuesto de
·
Si
colocamos
y
con origen común y completamos un
paralelogramo, entonces:
¨
La
diagonal cuyo origen es el de
y
es el vector suma
¨
La
diagonal que va del extremo de
al de
es
Propiedades de las operaciones con vectores
SUMA DE VECTORES
|
ASOCIATIVAS
|
|
CONMUTATIVAS
|
|
VECTOR NULO
|
|
VECTOR OPUESTO
|
PRODUCTO DE NUMEROS POR VECTORES
|
ASOCIATIVAS
|
a∙
|
DISTRIBUTIVA I
|
|
DISTRIBUTIVA II
|
a∙
|
PRODUCTO POR 1
|
1∙
|
Todas
estas propiedades le confieren al conjunto de los vectores la estructura de
espacio vectorial
5.2
EXPRESION ANALITICA DE UN VECTOR
Combinación lineal de vectores
Dados
varios vectores,
…,
y varios números, a, b, c…l, la expresión a
+
se llama combinación lineal.
Dependencia e independencia lineal
Varios
vectores se llaman linealmente dependientes si alguno de ellos se puede poner
como combinación lineal de los demás. Cuando no es así, se llaman linealmente independientes.
Base
Tres
vectores no coplanarios cualesquiera forman una base del espacio vectorial
tridimensional.
Si
los tres vectores son perpendiculares entre sí, se dice que forman una base
ortogonal. Si además tienen la misma longitud, se dice que la base es
ortonormal.
Coordenadas de un vector respecto de una base
Dada
una base, B
cualquier
vector,
se puede poner de forma única como combinación
lineal de sus elementos:
A
los números a, b, c, se los llama coordenadas de
respecto de B. Se expresa así:
Operaciones con coordenadas
SUMA:
PRODUCTO POR UN NÚMERO: K
COMBINACION LINEAL: a
5.3
PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
El
producto escalar de dos vectores
es:
·
Si
es
agudo, cos
>o,
es positivo.
·
Si
es
obtuso, cos
<o,
es negativo.
·
Propiedad fundamental
El
producto escalar de dos vectores no nulos es cero solo y cuando son
perpendiculares:
Modulo, ángulo, proyección
·
Módulo
de un vector:
·
Ángulo
de dos vectores: cos
·
Vector
proyección de
sobre
es
Operatoria con el producto escalar. Propiedades.
Al
relacionar el producto escalar de vectores con las demás operaciones entre
vectores, se dan algunas propiedades como:
Propiedad
conmutativa:
Propiedad
asociativa: λ (
Propiedad
distributiva:
Propiedad
distributiva:
Expresión analítica del producto escalar.
·
Si
B
es una base ortonormal se cumple que:
Teniendo
en cuenta que
,
,
son perpendiculares entre sí.
·
Si
las coordenadas de
y
son
y
respecto a una base ortonormal
entonces:
5.4
Aplicaciones del producto escalar.
Producto
escalar de dos vectores
,
,
Módulo
de un vector
Ángulo
α de dos vectores
,
Proyección
de un vector
y sobre otro
Segmento
proyección:
Vector
proyección:
Criterio
de perpendicularidad de dos vectores (ambos no nulos)
,
:
5.5
El producto vectorial.
El
producto vectorial de dos vectores
es un nuevo vector,
que se define como:
·
Si
y
son linealmente dependientes,
es un vector con las siguientes
características:
-
Módulo:
-
Dirección perpendicular a
y
a
-
Sentido: si
,
hacia arriba
si
,
hacia abajo
·
Si
y
son linealmente dependientes, es decir, si
alguno de ellos es
o si tienen la misma dirección, entonces
Propiedades
1.
El módulo del producto vectorial
es igual al área del paralelogramo definido
por lo vectores
y
.
2.
Pues tienen el mismo módulo, la misma
dirección y sentidos opuestos.
3.
,
cualquiera que sea
4.
Los vectores de la base
cumplen que
,
.
5.
Se comprueba a partir de la definición del
producto vectorial.
6.
El producto escalar no posee la propiedad asociativa. Por lo que,
no es igual a
7.
Expresión analítica de
.
Si
,
,
entonces:
8.
Propiedad distributiva del producto vectorial respecto de la suma de vectores:
5.6
Aplicaciones del producto vectorial.
¨
Producto
vectorial de dos vectores
,
.
Sus
coordenadas son:
¨
Para
hallar el área del paralelogramo determinado por
y
,
obtenemos el módulo de
.
¨
Para
obtener un vector perpendicular a otros dos,
y
,
no alineados, hallaremos
.
5.7
Producto mixto de tres vectores.
Se
llama producto mixto de los vectores
,
,
,
y se designa
al
número que se obtiene al operarlos del siguiente modo:
Interpretación
geométrica.
Conclusión:
es el volumen del paralelepípedo definido
por
(acaso con signo menos).
Expresión analítica.
¿Cómo influye el orden de los vectores en el producto
mixto?
Si
permutamos los vectores del corchete, cambia, a lo sumo, el signo del
resultado, pero no su valor absoluto. Por tanto, para el cálculo de volúmenes
tomaremos los vectores en el orden que convenga.
Ángela Fernández Jiménez
Ángela Fernández Jiménez
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